Géométrie des groupes et complétion profinie

Le contexte général de cet exposé est la question suivante : quels sont
les groupes infinis de type fini qui sont caractérisés par la donnée de
leurs quotients finis ? La relation d'équivalence associée est celle qui
met dans la même classe les groupes possédant le même complété profini.
On dit qu'un groupe possède la propriété de rigidité profinie (absolue)
s'il est seul dans sa classe d'équivalence, autrement dit si tout groupe
infini de type fini de même complété profini est isomorphe à celui-ci.
Le problème de mettre en évidence des classes de groupes possédant cette
rigidité est encore largement ouvert. On va présenter des constructions
de groupes possédant la propriété de rigidité profinie absolue, ainsi
que des résultats portant sur une version affaiblie de la rigidité
profinie (relative à une classe restreinte de groupes mis en
comparaison). Les techniques utilisées relèvent des représentations
linéaires, de la géométrie hyperbolique de petite dimension, et
d'arguments provenant de l'étude des groupes arithmétiques.