Intégrabilité et équations aux dérivées partielles

Une équation hamiltonienne est un système dynamique où l’évolution d’un état est déterminée par une fonction appelée Hamiltonien, qui décrit l’énergie totale du système. Pour certaines équations hamiltoniennes, dites intégrables, il est possible de trouver des coordonnées dans lesquelles l’évolution temporelle se réduit à un système d’équations linéaires, permettant ainsi une analyse explicite. Cet exposé a pour objectif de décrire les notions classiques d’intégrabilité pour les équations différentielles en dimension finie, puis d’expliquer comment ces concepts se transposent en dimension infinie, dans le cadre des équations aux dérivées partielles. La principale difficulté réside dans la construction d’un système de coordonnées adapté. En particulier, on mettra en évidence le rôle central joué par l’opérateur de Lax, qui permet notamment de construire des lois de conservation le long des trajectoires du système.