La loi de Weyl universelle avec gain par une puissance

Pour une variété riemannienne compacte, la loi de Weyl décrit le comportement asymptotique du nombre de valeurs propres de l'opérateur de Laplace sous-jacent. La compréhension fine de ces lois asymptotiques, que ce soient les termes d'ordre supérieur ou le terme d'erreur, demeure un problème difficile. Dans le contexte des espaces localement symétriques, la théorie spectrale du laplacien est intimement liée à la théorie des formes automorphes (parmi lesquelles se retrouvent les courbes elliptiques, les formes modulaires ou de Maass, les représentations galoisiennes, etc.) et les mêmes questions surgissent.

Il est en particulier naturel d'essayer d'établir une loi de Weyl pour la famille de toutes les représentations automorphes d'un groupe réductif donné. Cependant, jusqu'à récemment, toutes les lois asymptotiques connues n'étaient que partielles, certains paramètres (spectral, poids, niveau, ...) demeurant fixés : cela revient, pour ainsi dire, à n'étudier qu'une tranche de l'espace des formes automorphes. Les dépendances cachées dans les termes d'erreur de ces lois de Weyl partielles ne permettent toutefois pas de recoller les tranches.

Récemment, Brumley et Milićević ont obtenu une loi de Weyl uniforme pour GL(2), utilisant la formule des traces d'Arthur, mais n'obtenant essentiellement pas de terme d'erreur. En simplifiant à l'extrême le cadre de ces travaux, revenant à des idées utilisées jadis par Drinfeld, nous avons obtenu un gain par une puissance dans le terme d'erreur de la loi de Weyl pour la famille universelle des formes automorphes sur GL(2). L'idée centrale est d'étudier une « fonction zêta du conducteur » pertinente, et de déduire des lois de comptage par des arguments taubériens, rappelant les méthodes bien connues de la géométrie arithmétique, suggérant peut-être des ponts plus profonds.