Laurent Moret-Bailly "Arithmétique, géométrie et indécidabilité"

Laurent Moret-Bailly (Université de Rennes I)
Arithmétique, géométrie et indécidabilité

Le dixième problème de Hilbert s'énonce ainsi: « On donne une équation diophantienne à un nombre quelconque d'inconnues et à coefficients entiers rationnels ; on demande de trouver une méthode par laquelle, au moyen d'un nombre fini d'opérations, on pourra distinguer si l'équation est résoluble en nombres entiers rationnels ».
Le théorème de Davis-Putnam-Robinson-Matyasevich (1970), aboutissement d'une vingtaine d'années de travaux, affirme qu'un tel algorithme n'existe pas. Loin de clore le sujet, ce résultat spectaculaire laisse ouvertes de nombreuses questions : par exemple, que se passe-t-il si l'on supprime l'avant-dernier mot de l'énoncé ?
Plus généralement, on obtient des problèmes similaires en variant l'anneau des coefficients et celui dans lequel on cherche les solutions. Ces questions de « décidabilité existentielle » forment un domaine de recherche actif, qui fait un usage massif de méthodes arithmétiques et géométriques ; je donnerai un aperçu de quelques résultats et méthodes.