Les fonctions multiplicatives aléatoires sur les petits intervalles et applications concernant les sommes de caractères

Nous examinons les conditions sous lesquelles la somme de fonctions multiplicatives aléatoires dans les petits intervalles de la forme $(x, x+y]$ suscite le phénomène d'annulation. Grâce à l'utilisation des techniques issues du chaos multiplicatif gaussien, nous établissons que le point de changement de phase est $\log\big(\frac{x}{y}\big) \approx \sqrt{\log\log x}$. En modélisant les caractères par des fonctions multiplicatives aléatoires, nous établissons une borne supérieure de $$\frac{1}{r-1}\sum_{\chi \bmod r} \big|\sum_{x < n \leqslant x+y}\chi(n)\big|,$$ où $r$ est un nombre premier assez grand et $x+y \leqslant r$. Cela étend le résultat de Harper aux petits intervalles.