Les nombres p-adiques et le théorème de Skolem-Mahler-Lech

Oratrice : Vlerë Mehmeti (Sorbonne Université)

Résumé : Soit (x_n)_n une suite de nombres complexes définie par une relation de récurrence linéaire d'ordre d ≥ 1, c'est-à-dire qu'il existe des nombres complexes a₁, ..., a_d tels que, pour n ≥ d, on ait x_n=a₁ x_n-1 + ... + a_d x_n-d. Le théorème de Skolem-Mahler-Lech affirme que l'ensemble des entiers n tels que x_n=0 est l'union d'un ensemble fini et d'un nombre fini de progressions arithmétiques. À ce jour, la seule preuve connue de ce théorème est dépendante d'un autre système de nombres : les nombres p-adiques, qui satisfont des propriétés incompatibles avec notre intuition euclidienne. Par exemple, dans la géométrie p-adique tout triangle est isocèle, tout point d'un disque est son centre et tout entier est plus petit que 1. Au-delà du théorème de Skolem-Mahler-Lech, cette théorie, à première vue excentrique, joue aujourd'hui un rôle central dans des domaines de recherche comme la théorie des nombres et la géométrie algébrique. Notre objectif sera de présenter une preuve du théorème de Skolem-Mahler-Lech, ce qui nécessitera une introduction aux nombres p-adiques et à certaines de leurs propriétés.

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