Les sommes de deux nombres carrés consécutives dans les progressions arithmétiques

En 2000, Shiu a démontré qu'il existe une infinité de nombres premiers se terminant par 1 et pour lesquels le nombre premier suivant se termine aussi par 1. En revanche, c'est une question ouverte de montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers se terminant par 1 pour lesquels le nombre premier suivant se termine par 3. 
Dans cette présentation, on va considérer une autre suite, la suite des sommes de deux carrés par ordre croissant. 
En particulier, on va montrer qu'il existe une infinité de sommes de deux carrés se terminant par 1 pour lesquels la somme de deux carrés suivante se termine par 3. On va montrer aussi que tout motif de longueur 3 apparaît infiniment souvent : pour tout module q, tout motif (a mod q, b mod q, c mod q) apparaît infiniment souvent parmi les sommes de deux carrés consécutives. On va aussi discuter les idées de la démonstration, et expliquer pourquoi la démonstration ne marche pas pour les nombres premiers.