L’obstruction de Brauer–Manin et la méthode de la descente

Soit X une variété algébrique définie sur un corps de nombres k. Une question fondamentale en géométrie arithmétique est de décider si X possède un point k-rationnel. Une condition nécessaire évidente est que X ait des points locaux dans tous les complétés k_v de X, mais cela n’est pas toujours suffisante (dans ce cas, on dit que X est un contre-exemple au principe de Hasse). Nous introduisons dans cet exposé une obstruction cohomologique définie par Manin permettant de détecter le défaut du principe de Hasse, ainsi qu’une propriété appelée « approximation faible ». Nous présentons ensuite la théorie de la descente, une méthode due à Colliot-Thélène et Sansuc. L’espirit de cette dernière est englobée dans une « conjecture de descente », qui a été récemment formulée par Wittenberg. Nous discutons les cas connus de cette conjecture-là, à savoir ceux des torseurs sous un tore, un groupe fini hyper-résoluble (Harpaz—Wittenberg, 2020 et 2022) ou un groupe linéaire connexe (L, 2023).