Minoration de sommes d'exponentielles

Nous nous intéresserons aux minorations pour tout $\alpha$ de sommes de la forme $\sum f(n) e^{2i\pi\alpha n}.$ Nous montrerons en particulier que la somme $\sum_{p\le x} e^{2i\pi\alpha p}$ est non bornée pour tout $\alpha,$ et plus précisément diverge au moins comme $x^{1/6-\epsilon}$ pour une suite d’entiers $x$ tendant vers $\infty$ uniformément en $\alpha.$