Motives Through the Looking-Glass (and What Anderson Found There)

Étant donnée une variété algébrique, disons sur $\mathbb{Z}$, on peut lui associer ses diverses réalisations cohomologiques. Bien qu’incomparables par nature (car appartenant à des catégories distinctes), leurs ressemblances ont amené Grothendieck à imaginer la théorie des motifs pour les comprendre. Dans sa note à l’ICM de 2018, Scholze va plus loin en remarquant que ces différentes théories cohomologiques s’organisent sur un « plan ». De cette observation naît une philosophie : celle des Shtukas sur $\mathbb{Z}$.

Le but de cet exposé est de présenter le paysage analogue en arithmétique des corps de fonctions, où les idées de Scholze se réalisent à travers la notion de $t$-motifs, introduite par Anderson il y a presque 40 ans.