Du
Shedule -
Séminaire Bourbaki
\mu-bulles et variétés à courbure scalaire strictement positive en dimensions 4 et 5
Institut Henri Poincaré
Amphithéâtre Hermite
Un problème bien connu en géométrie est savoir quelles variétés
admettent une métrique riemannienne de courbure scalaire strictement
positive (PSC). De grandes avancées ont été obtenues dans les années 80
par Schoen--Yau et Gromov--Lawson, avec des techniques de surfaces
minimales et de spineurs. Parmi les résultats obtenus dans cette période
: une 3-variété compacte admet une métrique PSC si et seulement si sa
décomposition en somme connexe n'admet pas de facteur asphérique (i.e.
dont les groupes d'homotopie \pi_i sont nuls pour i>1, ou de manière
équivalente de revêtement universel contractible). Modulo la résolution
de la conjecture de Géométrisation par Perelman, cela revient à dire que
la variété est une somme connexe de quotients de S^3 et de S^2 \times
S^1. En dimension supérieure, les tores T^n n'admettent pas de métrique
PSC, ni plus généralement les variétés compactes à courbure sectionnelle
négative ou nulle. Ceci a amené à conjecturer qu'une n-variété compacte
asphérique n'admettait pas de métrique PSC.