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Shedule -

Rencontres de théorie analytique des nombres

Tordues additives de fonctions $L$ de rang 2

Salle Grisvard, IHP, Paris

L'exposé portera sur les fonctions $L$ de coefficients $a_n$ ($n\geq 1$ entier) donnés par les coefficients de Fourier d'une forme automorphe pour un groupe de congruence. Un exemple basique mais emblématique est celui où $a_n = r(n)$, le nombre de représentations de $n$ comme somme de deux carrés. On s'intéresse à la répartition statistique des nombres de la forme $L(x) = \sum_n  a_n n^{-1/2} e^{2\pi i n x}$ lorsque $x$ varie parmi les nombres rationnels de hauteur bornée. Des travaux des 10 dernières années ont permis de résoudre deux cas : celui d'une forme holomorphe, et celui où le groupe sous-jacent est $SL(2, \mathbb{Z})$.
      
Dans un travail en cours avec Sandro Bettin (Gênes) et Jungwon Lee (Bonn), on aborde ce problème dans le cas général, en exploitant la propriété de modularité quantique de $L(x)$ au sens de Zagier, et une extension d'un théorème de Baladi-Vallée à l'application de Bowen-Series. On parlera des divers ingrédients (arithmétiques, géométriques, dynamiques et combinatoires) qui interviennent dans la preuve.