Une q-déformation pour les P-partitions enrichies

Nous proposons une q-déformation de la fonction génératrice des P-partitions enrichies, généralisant plusieurs constructions classiques.Cette déformation nous permet d’introduire en particulier une famille de fonctions quasi-symétriques fondamentales déformées dépendant du paramètre q, qui interpole entre les fonctions fondamentales de Gessel (q = 0) et les fonctions de pics de Stembridge (q = 1). Ces fonctions forment une base de l’algèbre des fonctions quasi-symétriques lorsque q n’est pas une racine de l’unité. Elles permettent également de définir une nouvelle famille de bases monomiales q-déformées.Lorsque q est une racine de l’unité, nous faisons apparaître une famille de sous-algèbres indexées par une nouvelle statistique combinatoire, appelée pics étendus, située entre descentes et pics. Enfin, ces nouvelles fonctions fondamentales q-déformées fournissent une expansion quasi-symétrique des fonctions de Hall–Littlewood pour le paramètre t = −q, unifiant ainsi les développements classiques des fonctions de Schur et de Schur Q dans un cadre commun.

Travaux réalisés en collaboration avec Darij Grinberg (Université de Drexel, Philadelphie).