Valeurs de fonctions $L$ et périodes

Pourquoi la somme $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n/(2n+1)^3$, dont la définition semble pourtant si proche de $\zeta(3)$, est-elle un multiple rationnel de $\pi^3$ ? 
    C'est à ce genre de questions que permet de répondre la conjecture de Deligne (1979) sur les valeurs de fonctions $L$ motiviques. 
    Ces fonctions généralisent et unifient des objets fondamentaux en théorie des nombres tels que la fonction zêta de Riemann ou la fonction L d'une forme modulaire. 
    Elles sont associées à des variétés algébriques définies par des équations à coefficients rationnels (ou plus généralement à des morceaux découpés géométriquement dans leur cohomologie) en rassemblant dans un produit sur les nombres premiers des séries génératrices de comptages de points. 
    La conjecture de Deligne prédit un lien entre les valeurs des fonctions $L$ motiviques en certains entiers dits « critiques  » et les périodes, c'est-à-dire les intégrales de formes différentielles algébriques sur des domaines définis par des inéquations polynomiales. 
    J'expliquerai l'énoncé général et je l'illustrerai en traitant en détail les exemples des fonctions $L$ de Dirichlet et des fonctions $L$ de formes modulaires.