Variance des coefficients de Fourier des formes modulaires dans les progressions arithmétiques

Le but de cet exposé est de présenter et d’améliorer un résultat de Lau et Zhao sur la variance des coefficients de Fourier des formes modulaires dans les progressions arithmétiques. Précisément, ils ont étudié en fonction des paramètres $X^{\epsilon}\leq q\leq X$ la variance suivante $$\sum_{b(q)}\,\lvert \sum_{\substack{n\leq X\\n\equiv b[q]}}a(n)\rvert^2$$ qui est une quantité analogue au théorème de Barban-Davenport-Halberstam sur les nombres premiers dans les progressions arithmétiques. Nous présenterons leur résultat, qui fait apparaître un changement de régime au voisinage de $q\approx X^{\frac{1}{2}}$ ainsi que l’amélioration du terme d’erreur que nous obtenons dans l’asymptotique pour le domaine $q\gg X^{\frac{1}{2}+\epsilon}$ en utilisant des transformées de Mellin ainsi qu’un résultat sur les problèmes de convolution avec décalage additif dû à Duke, Friedlander et Iwaniec.