Baptiste Rognerud: Un ordre partiel d’origine algébrique sur les tableaux de permutation

Les treillis de Tamari sont des ordres partiels particulièrement bien étudiés, qui apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques.En théorie des représentations ils apparaissent, par exemple, comme ensembles de modules basculants d'une certaine algèbre. Dans cet exposé nous allons brièvement introduire une famille de modules qui généralise les modules basculants. Ces modules sont en réalité très anciens, ils remontent essentiellement à Schur, mais de façon curieuse aucun résultat de classification n'a été obtenu avant nos travaux. Nous allons voir que dans un cas simple, cette classification fait intervenir de la combinatoire très sympathique de remplissages de diagrammes.

Il sera ensuite très naturel d'introduire une relation d'ordre sur ces objets et nous verrons que celle-ci généralise la relation d'ordre de Tamari. Informellement c'est un "ralentissement" de la rotation des arbres binaires. Dans la seconde partie de l'exposé, nous verrons que cette relation d'ordre possède d'excellentes propriétés : essentiellement toutes les propriétés de l'ordre de Tamari.

C'est un travail en commun avec Crawley-Boevey, Ma et Sauter et plus récemment avec Corteel et Jang.