La dualité de Langlands

L'un des buts du programme de Langlands, c'est d'utiliser les représentations linéaires de certains groupes « continus » de matrices (comme $\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})$ ou $\mathrm{GL}(n, \mathbb{Q}_p)$) pour éclairer des aspects de la théorie des nombres --- par exemple les propriétés de certaines fonctions holomorphes ayant une signification arithmétique, comme la fonction zêta de Riemann. 

Pour associer à l'analyse harmonique d'un groupe réductif $G$ de telles « fonctions $L$ »,  Langlands a introduit en 1967 un « médiateur ». C'est un groupe ${}^L G$, défini en utilisant la structure algébrique de~$G$, à partir duquel la construction de fonctions $L$ est relativement simple ; on conjecture qu'il a des liens profonds avec l'analyse harmonique sur $G$. 
 
J'essaierai de présenter ce « groupe dual ${}^L G$ » et son rôle dans la théorie, en commençant par les exemples les plus simples.