L'Asymptotique de la valeur propre principale de l’Hamiltonien d’Anderson continu en dimension d ≤ 3

Dans cet exposé on considère l’Hamiltonien d’Anderson continu avec pour potentiel le bruit blanc sur la boîte (−L/2,L/2)^d en dimension d ≤ 3. On commence par des motivations d'étudier cet opérateur et expliquer la difficulté engendrée par sa nature irrégulière. On s’intéresse alors à l’asymptotique de ses plus petites valeurs propres lorsque L tend vers l’infini. On montre que les valeurs propres tendent vers −\infty à la vitesse de (log L)^{1/(2−d/2)} et l’on identifie le préfacteur en fonction de la constante optimale de l’inégalité de Gagliardo-Nirenberg. Le résultat était déjà connu en dimensions 1 et 2, mais est nouveau en dimension 3. Si le temps permet, on pourra également présenter deux conjectures sur les fluctuations des valeurs propres et sur les formes asymptotiques des fonctions propres associées près de leurs centres de localisation.