Mylene Maïda: Quelques résultats d'universalité pour des mots en des permutations aléatoires

Choisissons uniformément au hasard une permutation de N objets et intéressons-nous à des observables comme la longueur de la plus longue sous-suite croissante, le nombre de descentes, le nombre de cycles d'une taille donnée etc. Le comportement asymptotique de ces observables quand N devient très grand est bien compris. En particulier, il est facile de montrer que la loi jointe des petits cycles est asymptotiquement poissonienne. Si on considère maintenant non plus une permutation mais un mot en plusieurs permutations uniformes indépendantes, on sait, par des travausxde Nica, Magee, Puder etc, que le comportement asymptotique des petits cycles dépend de la structure algébrique du mot considéré et comment il en dépend. Au delà du cas uniforme,  il existe bien d'autres façons intéressantes et/ou naturelles de choisir une permutation  au hasard (loi d'Ewens, de Mallows...). Dans cet exposé, je présenterai des travaux en commun avec Slim Kammoun (ENS Lyon) dans lesquels nous avons essayé de comprendre à quelles conditions (sur les lois des permutations et la structure du mot) les petits cycles du mot en les permutations gardent un comportement asymptotique similaire au cas uniforme.