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Shedule -

Séminaire Bourbaki du vendredi

Tétraèdres à angles dièdres rationnels et équations en racines de l'unité

Institut Henri Poincaré
Amphithéâtre Hermite

En 2020, Kedlaya, Kolpakov, Poonen et Rubinstein ont obtenu une 
classification complète des tétraèdres dont tous les angles dièdres sont commensurables à $4\pi$, répondant ainsi à un problème posé en 1976 par Conway et Jones. Avec un peu de géométrie analytique, cette question géométrique se traduit en une question arithmétique : déterminer les solutions d'une équation polynomiale de degré $4$ en $6$  variables dont toutes les composantes sont des racines de l'unité, c'est-à-dire une instance de l'analogue torique du problème de Manin--Mumford, résolu par Laurent en 1984. On en déduit en particulier que ces tétraèdres s'organisent en familles continues paramétrées par des polytopes compacts. En raison de la complexité de l'équation, qui a 105 monômes, la  détermination explicite de ces familles est apparemment impossible par les méthodes usuelles inopérantes. Pour parvenir à leurs fins, Kedlaya, Kolpakov, Poonen et Rubinstein ont  ainsi dû en combiner astucieusement plusieurs avec des calculs soigneux et massifs sur ordinateur.