Tétraèdres à angles dièdres rationnels et équations en racines de l'unité

En 2020, Kedlaya, Kolpakov, Poonen et Rubinstein ont obtenu une 
classification complète des tétraèdres dont tous les angles dièdres sont commensurables à $4\pi$, répondant ainsi à un problème posé en 1976 par Conway et Jones. Avec un peu de géométrie analytique, cette question géométrique se traduit en une question arithmétique : déterminer les solutions d'une équation polynomiale de degré $4$ en $6$  variables dont toutes les composantes sont des racines de l'unité, c'est-à-dire une instance de l'analogue torique du problème de Manin--Mumford, résolu par Laurent en 1984. On en déduit en particulier que ces tétraèdres s'organisent en familles continues paramétrées par des polytopes compacts. En raison de la complexité de l'équation, qui a 105 monômes, la  détermination explicite de ces familles est apparemment impossible par les méthodes usuelles inopérantes. Pour parvenir à leurs fins, Kedlaya, Kolpakov, Poonen et Rubinstein ont  ainsi dû en combiner astucieusement plusieurs avec des calculs soigneux et massifs sur ordinateur.