Sur la probabilité qu’un entier possède un diviseur de la forme $p-1$ dans un intervalle donné

Dans cet exposé, nous étudierons la fonction qui compte les entiers naturels inférieurs ou égaux à $x$ possédant, dans un intervalle $(y,z]$, un diviseur de la forme $p-1$, où $p$ est premier. En analysant le comportement asymptotique de cette quantité dans les différents régimes de $z=z(y)$, nous mettrons en évidence une transition de phase qui révèle les dépendances entre ces événements de divisibilité en fonction de la longueur logarithmique de l’intervalle $(y,z]$. Notre résultat généralise un théorème de Ford correspondant au cas $z=x$. Ceci est un travail en collaboration avec V. Kovaleva, J. Schlitt et N. Tardy.