Christian Ausoni — Réfutation de la Conjecture du Télescope de Ravenel , d'après Burklund–Hahn–Levy–Schlank

La catégorie des spectres Sp —au sens de la topologie algébrique— est apparue à la fin des années 50 avec les travaux de Lima. Un spectre est un objet représentant une théorie de cohomologie sur des espaces, et la construction d’une nouvelle théorie de cohomologie et son étude peuvent ainsi être réalisées au niveau topologique (ou homotopique) dans la catégorie Sp. En algèbre supérieure développée par Lurie, se voit promue en une (∞,1)-catégorie stable monoïdale symétrique, parmi lesquelles elle joue un rôle généralisant celui de la catégorie des groupes abéliens au sein des catégories abéliennes.

La théorie de l’homotopie chromatique est l’étude de la catégorie Sp via ses localisations par rapport à ses idéaux premiers. Son développement a commencé à la fin des années 70 avec les travaux de Ravenel et une série de conjectures célèbres. Toutes hormis la Conjecture du Télescope ont été démontrées par Devinatz, Hopkins et Smith à la fin des années 80. En particulier, les idéaux premiers de ont été classifiés: pour chaque nombre premier ordinaire p, et chaque hauteur n, il existe un idéal premier (p,n), et un corps premier K(n) dans Sp connu sous le nom K-théorie de Morava, interpolant pour p fixé entre Q et F_p. La Conjecture du Télescope prédit que la théorie de la cohomologie détecte toute l’information encodée dans la couche monochromatique de hauteur n, ou, en termes plus précis, que la catégorie télescopiquement localisée Sp_T(n) coïncide avec la sous-catégorie Sp_K(n) des spectres K(n)-locaux. Elle est valable pour n=0 et 1, mais on s’attendait à ce qu’elle soit fausse pour n>1.

Il a fallu attendre 2023 pour qu’il soit démontré par Burklund, Hahn, Levy et Schlank que la Conjecture du Télescope est fausse: ils ont exhibé pour chaque premier p et hauteur n>1 un contre-exemple explicite. Dans cet exposé, je donnerai un aperçu de l’homotopie stable chromatique et de la Conjecture du Télescope de Ravenel, puis j’esquisserai la construction des contre-exemples et mentionnerai quelques conséquences sur notre compréhension de l’homotopie stable.