Élise Goujard : Comptage de métriques sur les cartes et volumes de Masur-Veech

La motivation initiale du résultat présenté est de nature géométrique et dynamique: le but est d'exprimer les volumes de certains espaces de modules de surfaces plates, ces volumes étant intéressants pour l'étude des propriétés dynamiques de certains billards polygonaux par exemple. Pour évaluer ces volumes il faut compter des surfaces à petits carreaux de type combinatoire fixé. Le comptage des métriques sur les cartes combinatoires, c'est-à-dire les choix de longueurs entières sur les arrêtes pour obtenir des périmètres de faces fixés, est un ingrédient clé de ce comptage. Dans le cas des cartes trivalentes, Kontsevich a montré que la fonction de comptage des métriques est polynomiale (à des termes de degré inférieur près) et explicite. Motivés par l'étude de certains espaces de modules, nous avons étudié le comptage des métriques sur les cartes où certains sommets ont des valences impaires fixées. Dans ce cas, le résultat de Kontsevich donne la polynomialité de la fonction de comptage en dehors de certains murs. En comptant des métriques sur des cartes dégénérées, nous avons explicité cette fonction de comptage sur les murs, et ainsi donné une formule pour les volumes des espaces de modules considérés. Cela devrait permettre de résoudre certaines conjectures pour les surfaces plates de grand genre. (Travail en commun avec E. Duryev et Y. Yakovlev.)