Erwan Brugallé - 15h30 - Enumération de courbes complexes, réelles et tropicales

La géométrie énumérative est la branche des mathématiques dont l'objectif est de répondre à des questions du type: Combien de droites passent par 2 points dans le plan (facile)? Combien de coniques passent par 5 points dans le plan (facile)? Combien de cubiques avec un point double passent par 8 points dans le plan (moins facile)? Si l'on compte les courbes définies sur le corps $\mathbb C$, alors ce nombre de courbes ne dépend pas de la configuration de points choisie, tout comme le nombre de racines complexes d'un polynôme en une variable à coefficients complexes est toujours égal à son degré. En revanche, si l'on compte les courbes définies sur le corps $\mathbb R$, alors ce nombre dépend fortement des points choisis, ce qui complique quelque peu le problème. Ces questions ont aussi un sens en géométrie tropicale, un domaine au carrefour de la géométrie et de la combinatoire développé ces vingt dernières années. Le but de cet exposé sera de fournir une introduction à la géométrie énumérative, et d'illustrer les interactions des trois aspects réel complexe et tropical. En particulier, je parlerai des invariants raffinés tropicaux, où les nombres de courbes ne sont plus des entiers, mais des polynômes.