Antoine Chambert-Loir — La logique continue des corps globalement valués

Un corps globalement valué est un corps muni d’une famille de valeurs absolues satisfaisant à une formule du produit. Les corps de nombres ou les corps de fonctions d’une variable fournissent des exemples classiques, et fondamentaux, d’une telle structure algébrique ; la théorie de Nevanlinna permet de construire une telle structure sur le corps des fonctions méromorphes sur C. Ces corps globalement valués peuvent être abordés dans le cadre de la logique continue (pour laquelle les prédicats sont à valeurs réelles), et une telle étude a été entreprise par Ben Yaacov et Hrushovski il y a presque 10 ans, fournissant un cadre modèle-théorique pour la théorie diophantienne des hauteurs. Un des premiers résultats fondamentaux de la théorie affirme que le corps des nombres algébriques, avec sa structure (essentiellement unique) de corps globalement valué, est existentiellement clos : tout système d’égalités et inégalités polynomiales et d’inégalités strictes entre hauteurs possède une solution en nombres algébriques, pourvu qu’il en possède une dans une extension globalement valuée. La démonstration, due à Szachniewicz, s’inspire de celle proposée par Ben Yaacov et Hrushovski dans le cas des corps de fonctions: alors que cette dernière utilisait de manière cruciale la description par Boucksom, Demailly, Păun et Peternell du cône des courbes mobiles dans une variété projective, le cas des corps de nombres repose sur des résultats récents de théorie d’Arakelov.