Localité de la percolation surcritique pour les graphes croissant polynomialement

Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux graphes transitifs ayant la propriété de croissance suivante : il existe un réel d>1, automatiquement entier, tel que le cardinal de la r-boule soit en Θ(r^d). Des travaux récents permettent une bonne compréhension de la percolation surcritique sur certains de ces graphes :
- dans le cas précis du réseau hypercubique de dimension d>1, Georgakopoulos et Panagiotis ont démontré que la probabilité que l’origine soit dans un amas de percolation infini dépend analytiquement du paramètre p>p_c ;
- pour n’importe quel graphe dans cette classe, Contreras, Tassion et moi-même avons démontré que pour tout p>p_c, la probabilité que deux sommets soient reliés sans pour autant être dans un amas infini s'évanouit exponentiellement en leur distance.
Par ailleurs, Contreras, Tassion et moi-même avons démontré que pour tout graphe G dans notre classe d’étude, si un graphe G’ de notre classe a la même r-boule que G pour un r assez grand, alors p_c(G) et p_c(G’) sont proches.
Dans un travail en cours de finalisation, Panagiotis et moi-même unifions ces trois résultats. Nous démontrons que le théorème de Georgakopoulos–Panagiotis vaut pour tout graphe de notre classe. En outre, nous établissons que, tant pour l’étude de l’analyticité que de la décroissance exponentielle, connaître une boule de grand rayon suffit à obtenir de bonnes estimées. L’exposé visera à donner un aperçu autocontenu de ces résultats.