Thomas Budzinski : La plus longue sous-suite croissante des permutons séparables browniens

Le but de l'exposé sera d'étudier la plus longue sous-suite croissante d'une permutation aléatoire tirée à partir d'un permuton Brownien séparable. Le problème peut également se formuler en termes d'arbres de la manière suivante. Soit $T$ un arbre binaire uniforme à $n$ feuilles, dont les noeuds sont munis de signes i.i.d. valant $+$ avec probabilité $p$ et $-$ avec probabilité $1-p$. Quelle est la taille du plus grand sous-arbre de T dont tous les noeuds de degré 3 sont positifs ? On verra que cette quantité est d'ordre $n^{\alpha(p)}$, où $\alpha(p)$ est solution de l'équation suivante :
\$$\frac{2^{1/\alpha}\sqrt{\pi}\,\Gamma(1-1/(2\alpha))}{\Gamma(1/2-1/(2\alpha))} = \frac{p-1}{p}.$$
Travail en commun avec Arka Adhikari, Jacopo Borga, William da Silva et Delphin Sénizergues.