Mirna Džamonja — Les axiomes de forcing

Le forcing est une méthode qui permet de passer d’un univers (modèle) V de la théorie de ZFC des ensembles, à un autre V[G], enrichi par un nouvel objet générique G qui est construit à partir d’approximations organisées par un ordre partiel, nommé l’ordre de forcing. Le mot générique signifie que G est choisi de la manière à assurer un certain nombre de conditions, qui sont exprimées en ayant une intersection non-vide avec des ensembles dits denses. À la différence des constructions inductives, où l’existence de l’objet construit par les approximations organisées sur un bon ordre est assuré par les principes de ZFC, les constructions organisées par un ordre partiel ne donnent pas lieu en général à un objet générique qui existe dans le même univers de ZFC. Pour cette existence, il faut payer le prix en enrichissant l’univers (cela ressemble à la théorie de Galois), d’où le passage à V[G]. Néanmoins, il est possible d’avoir des univers de ZFC qui sont saturés par rapport de l’existence de quelques-uns de ces génériques. Par exemple, un univers qui satisfait l’Axiome de Martin (MA), possédera un objet générique pour tout forcing avec la propriété ccc et pour toute famille d’ensembles denses qui est de cardinalité Aleph_1.

La cohérence de ZFC implique la cohérence de ZFC+MA et, avec des hypothèses plus fortes que la cohérence de ZFC, on peut obtenir la cohérence de modèles qui vérifient des axiomes encore plus forts que MA.

L’exposé expliquera quelques-uns de ces axiomes et leurs conséquences, notamment sur l’hypothèse du continu.