Notre connaissance de la cohomologie singulière de l’espace de
modules \(\mathcal{M}_g\) des courbes
lisses de genre \(g\) est lacunaire.
Pire encore, jusqu’à très récemment, les résultats à notre disposition
semblaient pointer dans des directions contradictoires : les groupes de
cohomologie de \(\mathcal{M}_g\) sont
nuls en degré supérieur à \(4g-5\), de
dimension au plus exponentielle en \(\sqrt{g}\) en degré inférieur à \(2g/3\), mais sa caractéristique d’Euler
croît plus vite qu’une exponentielle en \(g\) ! Nous présenterons des travaux récents
qui permettent d’exhiber de nouveaux exemples de groupes non nuls dans
la cohomologie de \(\mathcal{M}_g\), et
même certaines familles, pour des degrés de la forme \(4g-k\), avec \(k\) fixé, dont la dimension présente une
croissance au moins exponentielle en \(g\). La démonstration repose sur des liens
précis établis entre la cohomologie de l’espace de modules des courbes
et celle de variantes de nature combinatoire : espace de modules des
courbes tropicales (graphes métriques pondérés) et complexes de graphes
de M. Kontsevich.