Jérôme Poineau — Cohomologie des espaces de modules de courbes via la géométrie tropicale et les complexes de graphes , d’après M. Chan, S. Galatius et S. Payne

Notre connaissance de la cohomologie singulière de l’espace de modules \(\mathcal{M}_g\) des courbes lisses de genre \(g\) est lacunaire. Pire encore, jusqu’à très récemment, les résultats à notre disposition semblaient pointer dans des directions contradictoires : les groupes de cohomologie de \(\mathcal{M}_g\) sont nuls en degré supérieur à \(4g-5\), de dimension au plus exponentielle en \(\sqrt{g}\) en degré inférieur à \(2g/3\), mais sa caractéristique d’Euler croît plus vite qu’une exponentielle en \(g\) ! Nous présenterons des travaux récents qui permettent d’exhiber de nouveaux exemples de groupes non nuls dans la cohomologie de \(\mathcal{M}_g\), et même certaines familles, pour des degrés de la forme \(4g-k\), avec \(k\) fixé, dont la dimension présente une croissance au moins exponentielle en \(g\). La démonstration repose sur des liens précis établis entre la cohomologie de l’espace de modules des courbes et celle de variantes de nature combinatoire : espace de modules des courbes tropicales (graphes métriques pondérés) et complexes de graphes de M. Kontsevich.