Autour de l’équation de Landau

Pour décrire les collisions entre particules chargées dans des plasmas, Lev Landau a introduit un modèle cinétique — voisin de l’équation de Boltzmann — dont le traitement mathématique est particulièrement riche. L’équation peut être décrite comme une équation parabolique non linéaire (à coefficients non constants et singuliers). Le but de l’exposé est d’introduire les propriétés qualitatives des solutions de l’équation (décroissance de l’entropie, régularité) et les développements les plus récents concernant la théorie de Cauchy pour cette équation (ou, plus généralement, solutions d’équations similaires comme l’équation de Landau isotrope) et la régularité des solutions. On essaiera de faire le point sur ces questions jusqu’au résultat fondamental de Silvestre et Guillen.