Thomas Haettel — La conjecture du K(π, 1) pour les groupes d'Artin affines, d'après Giovanni Paolini, Mario Salvetti

Considérons un groupe de Coxeter W affine, agissant par isométries sur
l’espace euclidien R^n , ainsi que l’arrangement des hyperplans de ses réflexions. Le
complémentaire Y_W du complexifié de cet arrangement dans C^n, quotienté par W,
a pour groupe fondamental le groupe d’Artin affine G_W associé à W. La conjecture
du K(π, 1) affirme dans ce cas que l’espace Y_W est un espace classifiant pour G_W .
Elle a été démontrée récemment par Paolini et Salvetti, en s’appuyant sur les
travaux de McCammond et Sulway. Nous présenterons des ingrédients de la
preuve, qui repose notamment sur l’étude des structures de Garside duales pour les
groupes d’Artin affines, les factorisations des isométries euclidiennes et la
décortiquabilité des partitions non croisées affines. Une conséquence est que les
groupes d’Artin affines, ainsi que les groupes crystallographiques tressés, ont un
espace classifiant fini.