Produit de mélange, carrés et évitement de motifs

Un produit de mélange de deux mots U et V est un mot obtenu en entrelaçant les lettres de U et de V ; ce produit n’est pas nécessairement unique. Par exemple, si U = aab et V = cd, les produits de mélange de U et V sont les dix mots aabcd, aacbd, acabd, caabd, aacdb, acadb, caadb, acdab, cadab et cdaab. Un mot W est un carré pour le produit de mélange si W est le produit de mélange d’un mot U avec lui-même. Par exemple, aababa est le produit de mélange du mot aba avec lui-même, donc c’est un carré pour le produit de mélange. Nous nous intéresserons à deux questions, à chacune desquelles nous fournirons des réponses partielles :
1. À quelles conditions sur l’alphabet A existe-t-il un mot infini sur A dont aucun facteur non nul n’est un carré pour le produit de mélange ?
2. Est-il difficile de décider si un mot est un carré pour le produit de mélange ? s’il contient un facteur non nul qui est un carré pour le produit de mélange ?
Ceci est un travail en commun avec Laurent Bulteau et Stéphane Vialette.